श्री जगदीश काबरे
☆ “गणित म्हणजे नक्की काय?” ☆ श्री जगदीश काबरे ☆
गणित म्हणजे नक्की काय? संख्या म्हणजे काय? आणि अनुभवाशिवाय गणित कसे उभे राहते? हे प्रश्न प्रथमदर्शनी कठीण वाटतात, पण थोडा विचार केला तर ते प्रश्न कठीण नसतात हे आपल्या लक्षात येईल. गणित म्हणजे केवळ आकड्यांच्या बेरीज-वजाबाकीचे शास्त्र नाही; तर ते त्याहून खूप व्यापक आहे. आपण म्हणतो ते ‘तीन’, ‘दहा’, ‘शंभर’ हे आकडे स्वतः वस्तू नसतात. ‘तीन’ हा आकडा दिसत नाही; दिसतात त्या तीन वस्तू. उदा. तीन सफरचंद, सात दगड आपण त्या वस्तूंच्या मोजणीतून ‘तीन’ म्हणजे किती, ’सात’ म्हणजे किती, ही कल्पना तयार करतो. म्हणजे संख्या ही प्रत्यक्ष जगात दिसणारी वस्तू नाही, पण मनाने बनवलेली एक समजूत, एक अमूर्त कल्पना आहे. गणित अशाच अनेक अमूर्त कल्पनांचा वापर करून उभे राहते. गणिताविषयी विचार करताना सर्वप्रथम समोर येतो तो त्याच्या स्वरूपाचा प्रश्न. गणित हे केवळ संख्यांविषयीचे शास्त्र आहे अशी सोपी व्याख्या अपुरी ठरते, कारण संख्या हा गणिताचा एक भाग असून संपूर्ण गणिताची व्याप्ती त्यापेक्षा फार मोठी आहे. संख्या स्वतः इंद्रियगोचर वस्तू नसतात; आपल्याला त्यांचे प्रत्यक्ष संवेदन होत नाही. म्हणून गणित हे मूलत: अशा अमूर्त संकल्पनांचे, त्यांच्यातील संबंधांचे आणि त्या संबंधांतील सुसंगततेचे शास्त्र आहे असे म्हणावे लागते. या अमूर्तपणामुळेच गणित अनुभवावर अवलंबून नसते, तर ते ‘निगमी’ म्हणजेच न्यायनिष्ठ, कडक तर्काच्या आधारावर उभे राहते.
गणितातील निगमनपद्धतीची सुरुवात मूलविधाने म्हणजे गृहीतके (axioms) यांच्यापासून होते. ही मूलविधाने आपण थेट इंद्रियानुभवावर आधारून घेत नाही. ती आपण ‘मान्य’ करतो, कारण त्यांत विरोधाभास नाही, त्यांच्यापासून निघणारी तर्कसंगत बांधणी शक्य आहे, आणि ती संपूर्ण प्रणाली एकसंध ठेवतात. याचा अर्थ ती ‘प्रमाण’ आहेत म्हणून स्वीकारलेली नसतात, तर ती गृहितके असून त्यांचा योग्य तर्काने विस्तार करता येतो हेच त्यांचे प्रामाण्य. मूलविधानांचे प्रामाण्य समजण्याचा निकष म्हणजे अंतर्गत सुसंगती, विरोधाभासाचा अभाव आणि तर्कशुद्ध सुसंगती असतात. मूलविधानांपासून एखादा सिद्धान्त ‘अनिवार्यपणे’ निष्पन्न होतो का हे आपल्याला शुद्ध तर्कविचाराने कळते; अनुभवापेक्षा विचारशक्ती इथे निर्णायक ठरते. म्हणजे गणिताची पद्धत अनुभवावर आधारित नसते. गणितातील सिद्धान्त हे ‘मी पाहिले त्यामुळे खरे’ असे नसून ‘मी तर्काने सिद्ध केले त्यामुळे खरे’ असे असते. यासाठी गणित काही मूलविधाने (axioms) ठरवते. ही मूलविधाने जगात खरी आहेत म्हणून आपण घेतो की त्यावर सुसंगत गणित बांधता येते म्हणून घेतो? उदा. ’सपाट पृष्ठभागावर दोन सरळ रेषा एकमेकांना एकाच बिंदूत छेदतात’, हे मूलविधान आपण शाळेत शिकतो. आपण ते गृहित धरतो आणि त्यातून तर्क लावून पुढची संपूर्ण भूमिती उभी करतो. हे मूलविधान शाब्दिक अर्थाने ‘सिद्ध’ नसते; तर ती विश्वाची एक ‘तर्कशुद्ध मांडणी’ आहे. तिच्यावर उभारलेल्या पद्धतीमध्ये विरोधाभास निर्माण होत नाही. हा विरोधाभास नसणे आणि सुसंगती टिकणे हेच ते मूलविधान “बरोबर” असल्याचे निकष आहेत.
तर मग प्रश्न असा उरतो की अशा अमूर्त, विचाराधिष्ठित गोष्टी माणूस समजू कसा लागला? त्यासाठी एक विशिष्ट मानसिक क्षमता असावी लागते. ज्या प्रकारे आपण भाषेमध्ये व्याकरणाचे नियम धरतो आणि वाक्ये तयार करतो, त्याचप्रमाणे गणितामध्ये मन अमूर्त नियम धरते आणि त्यावर आधारित तर्कबद्ध बांधणी करते. ही क्षमता केवळ गणितापुरती मर्यादित नाही, तर तर्कशास्त्र, विज्ञान, भाषा, संगीताची रचना, कायदे, दैनंदिन विचारसरणी अशी सगळीकडे ती दिसते. यामुळे पुढचा प्रश्न निर्माण होतो की अशी तर्कशक्ती किंवा गणनशक्ती मनात आहे ती नेमकी काय आहे? गणिताला आधारभूत अशी काही विशेष ज्ञानशक्ती मनात आहे का? हा प्रश्न दीर्घकाळ तत्त्वज्ञानी परंपरेत चर्चिला गेला आहे. प्लॅटोने गणितीय सत्यांना अनुभवापलीकडील जगातील शाश्वत सत्ये म्हटले; कांटने गणिताला मानवी ज्ञानेच्छेची पूर्वअट (a priori form of intuition) मानले; तर आधुनिक तत्त्वज्ञान गणिताला भाषा आणि तर्क यांच्या संरचनेतून निर्माण होणारी सुसंगत व्यवस्था म्हणते. या सर्वांचा सामायिक आधार असा की गणितातील क्षमता ही माणसाच्या चिंतनशक्तीत म्हणजे अमूर्त तर्कशक्तीमध्येच निवास करते. ही शक्ती फक्त गणितापुरती मर्यादित नाही; ती भाषा, सौंदर्यनिर्णय, विज्ञानातील प्रारूपे, कायद्यातील तर्कबद्धता, दैनंदिन निर्णयपद्धती यांमध्येही दिसून येते. म्हणून गणित ही मनाची फक्त एक विशेष क्षमताच नव्हे, तर मनाच्या एकूण तर्कक्षमतेचे सर्वाधिक शुद्ध आणि स्वच्छ रूप आहे.
गणित आणखीन अद्भुत वाटण्याचे कारण म्हणजे निसर्गातील नियमसुद्धा गणितानेच अचूकपणे समजतात. गुरुत्वाकर्षण, प्रकाशाचा वेग, आवर्तने, कणांचे वर्तन, या सर्व भौतिक जगातील घटना गणिती समीकरणांनी सुंदरपणे स्पष्ट होतात. म्हणजे आपण डोक्यात तयार केलेली तर्कशुद्ध अमूर्त रचना आणि विश्वातील प्रत्यक्ष घडणारे नियम यांत एक विलक्षण साधर्म्य आढळते. हा केवळ योगायोग नाही. निसर्ग स्वतःच काही ठराविक नमुन्यांनी, नियमांनी आणि नियमिततेने भरलेला आहे. आणि मानवी मेंदूला नमुने शोधण्याची, नियम ओळखण्याची, त्यांना पकडून मांडण्याची क्षमता आहे. म्हणून गणित व निसर्ग हे दोन वेगवेगळे नसून एकमेकांना प्रतिबिंबित करणारे आहेत. गणिताचा आश्चर्यकारक भाग म्हणजे त्याचे सृष्टीतील उपयोजन. भौतिकशास्त्रातील मूलभूत घटक—अणू, कण, बल, ऊर्जा—यांचे वर्णन आपण गणिती समीकरणांत करतो. विश्वातील हालचाली, रचना, बदल, आवर्तने, अपघात सगळे काही गणिती नियमांशी जुळून येते. हा केवळ योगायोग आहे का? गणित शिकवते ते मनाचे अमूर्त तर्करूप, आणि निसर्ग चालतो तो गणिताशी सुसंगत नियमांनी! हे आश्चर्य अनेक विचारवंतांनी ‘unreasonable effectiveness of mathematics in natural sciences’ या नावाने चर्चिले आहे. या आश्चर्याचे उत्तर असे की, निसर्ग आपल्याला एका विशिष्ट प्रकारे आढळतो आणि त्या आढळण्यातले नमुने, पुनरावृत्ती, नियमितता ओळखण्यासाठी आपण वापरतो ते साधन म्हणजे गणित. निसर्गात रचना आहे, आणि त्या रचनेला समजून घेण्यासाठी गणित उपयुक्त ठरते; म्हणून गणित आणि निसर्ग यांचे नाते योगायोगांमुळे नसून मानवी संज्ञानशक्ती आणि निसर्गातील संरचना यांच्यातील ते सामंजस्य आहे.
याहून पुढे एक मनोरंजक प्रश्न असा विचारला जातो की दुसऱ्या काही वेगळ्या प्रकारच्या विश्वाची कल्पना केली, जिथे नियम वेगळे आहेत तरी गणित लागू होईल का? उत्तर आहे, होय. कारण गणित म्हणजे निव्वळ विशिष्ट गोष्टींचे मोजमाप किंवा आकार नव्हे; तर गणित म्हणजे कोणत्याही गोष्टीतील तर्कशुद्ध संबंध समजून घेण्याची भाषा. विश्व वेगळे असले तरी त्यात काही ना काही प्रकारचे संबंध, बदल, परस्पर नाते असणारच, आणि त्यांना समजावून सांगणारी भाषा म्हणून वेगळे गणित उभे राहीलच. अर्थात, जर एखाद्या भिन्न प्रकारच्या विश्वाची कल्पना केली—जिथे नियम भिन्न आहेत—तरीही काही प्रकारचे ‘गणित’ तिथे असणारच. कारण गणित म्हणजे कोणत्याही सुसंगत प्रणालीतील संबंधांचे तर्कशास्त्र. विश्व कोणतेही असले तरी त्यातील घटक एकमेकांशी कसे संबंधित आहेत याची भाषा गणितच ठरवते. त्यामुळे गणित हे निसर्गाच्या बाहेरचे नाही, तर निसर्गातील रचना समजावून घेण्याची मानवी क्षमता आहे. ते मन आणि विश्व यांना सांधणारा एक पूल आहे. गणित ही अमूर्ततेतून उगवणारी पण जगातील प्रत्यक्ष प्रक्रियांना अचूक पकडणारी एक अद्वितीय विचारपद्धती आहे.
म्हणजे असे की, प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ युक्लिडने जी भूमिती शोधली ती सपाट पृष्ठभागासाठी लागू होणारी होती. या भूमितीला ’युक्लीडियन भूमिती’ असे म्हणतात. त्यामुळे त्याची जी गृहीतके होती ती फक्त सपाट पृष्ठभागाच्या गणितालाच लागू होत होती. अठराव्या शतकात रशियन गणितज्ञ लोबोशोवस्की आणि जर्मन गणितज्ञ रिमान यांनी विश्वाचा विचार केला तेव्हा विश्वास सपाट असे नसतेच तर संपूर्ण विश्व हे गोल असते, हे लक्षात घेतल्यामुळे त्यांनी एका नवीन भूमितीचा शोध लावला, ज्याला आपण ’अयुक्लिडियन भूमिती’ म्हणतो. या दोन भूमितीतील फरक एका साध्या सोप्या उदाहरणाने स्पष्ट होईल. युक्लीडन भूमितीमध्ये त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज 180⁰ असते; तर अयुक्लिडीयन भूमितीमध्ये त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज कधी 180° पेक्षा जास्त असते तर कधी 180° पेक्षा कमी असते. कारण युक्लिड भूमितीमध्ये तीन सरळ रेषा एकमेकींना छेदतात तर अयुक्लिडीय भूमितीमध्ये तीन वक्ररेषा दोन प्रकारे एकमेकींना छेदू शकतात. त्यामुळे दोन्ही प्रकारच्या भूमितीमध्ये वेगवेगळे निष्कर्ष निघतात आणि ते त्या त्या भूमितीच्या गृहीतकांनुसार योग्यच ठरतात.
22 डिसेंबर हा भारतीय गणितज्ञ रामानुजन यांच्या स्मरणार्थ “राष्ट्रीय गणित दिवस” म्हणून साजरा केला जातो. पण आपल्यापैकी किती लोकांना रामानुजन यांच्या गणिताविषयी माहिती आहे? रामानुजन यांच्या गणिताची प्रमुख वैशिष्ट्ये म्हणजे विलक्षण तर्कज्ञान, औपचारिक पुराव्यांपेक्षा संकल्पनात्मक सत्यावर असलेला त्यांचा विश्वास आणि अत्यंत मौलिक सूत्रनिर्मिती. पारंपरिक शिक्षणाच्या मर्यादा असूनही त्यांनी संख्याशास्त्र, अनंत श्रेणी, अपूर्णांकातील सातत्य, विभाजीत संख्यांचा अभ्यास आणि मॉड्युलर फॉर्म्स या क्षेत्रांत क्रांतिकारक काम केले. अनेकदा कोणताही सविस्तर पुरावा न देता त्यांनी थेट निष्कर्ष मांडले. पुढे आधुनिक गणितज्ञांनी ते निष्कर्ष अत्यंत काटेकोर पुराव्यांनी सिद्ध केले. यावरून त्यांच्या तर्कज्ञानाची प्रखरता स्पष्ट होते. गणित केवळ तर्कशुद्ध गणना नसून एक सर्जनशील, कलात्मक अनुभूती आहे, अशी त्यांची दृष्टी त्यांच्या कामातून दिसून येते.
रामानुजन यांच्या गणिताचे आणखी एक वैशिष्ट्य म्हणजे साध्या दिसणाऱ्या संख्यात्मक नमुन्यांतून खोल सार्वत्रिक नियम शोधण्याची क्षमता. टाऊ फंक्शन, रामानुजन प्राइम्स, आणि π (पाय) साठीच्या अनंत श्रेणी यांसारख्या त्यांच्या सूत्रांनी संख्याशास्त्राला नवी दिशा दिली. त्यांच्या नोंदवह्यांमध्ये आढळणारी असंख्य सूत्रे आणि आयडेंटिटीज हे केवळ स्वतंत्र निष्कर्ष नसून परस्परांशी सूक्ष्म नातेसंबंध दर्शवतात, जे आधुनिक गणितातील मॉड्युलर फॉर्म्स आणि ऑटोमॉर्फिक फंक्शन्सच्या विकासात अत्यंत महत्त्वाचे ठरले. तसेच रामानुजन यांच्या गणिताची वैशिष्ट्ये त्यांच्या कार्यपद्धतीतही दिसून येतात. कठोर पद्धतशीर प्रशिक्षणाऐवजी त्यांनी स्व-अभ्यास, प्रयोगशीलता आणि मानसिक गणना यांवर भर दिला. त्यामुळे त्यांच्या गणितात एक प्रकारची धाडसी अपारंपरिकता आढळते, जी त्या काळातील प्रस्थापित गणिती परंपरेपेक्षा वेगळी होती. आजही रामानुजन यांचे कार्य केवळ ऐतिहासिक महत्त्वाचे नाही, तर समकालीन गणित, सैद्धांतिक भौतिकशास्त्र आणि संगणकीय गणितासाठी प्रेरणास्रोत ठरत आहे, हेच त्यांच्या गणिताच्या वैशिष्ट्यांचे अंतिम द्योतक मानले जाते.
अशा प्रकारे बघताना गणित हे संख्यांचे शास्त्र नसून तर्क, रचना, सुसंगती आणि संबंध यांचे शास्त्र आहे, हे लक्षात येते. संख्या हे त्यातील एक प्रकरण, परंतु गणिताचे अधिष्ठान म्हणजे मानवी विचारशक्तीची अमूर्त बांधणी करण्याची क्षमता. अनुभवाची गरज नसतानाही गणित उभे राहते, आणि अनुभवाच्या आधारानेही ते सिद्ध होते. यातच त्याची वैश्विकता आहे. गणित हे मनाला आणि निसर्गाला जोडणारे सर्वात सूक्ष्म आणि सर्वात शक्तिशाली साधन आहे. म्हणून सारांश असा की, गणित हे संख्यांचे किंवा आकारांचे शास्त्र नसून संबंध, रचना, नियम आणि तर्क यांचे शास्त्र आहे. संख्या, आकार, समीकरणे ही त्याची साधने आहेत; परंतु त्यामागील मूलभूत शक्ती म्हणजे मानवाची अमूर्त विचार करायची क्षमता. म्हणूनच गणित आपल्याला दिसत नाही, पण संपूर्ण विश्व समजण्याची किल्ली मात्र गणितच देत राहते.
© श्री जगदीश काबरे
(लेखक विज्ञान आणि वैज्ञानिक दृष्टीकोन प्रसारक आहेत.)
jetjagdish@gmail. com
मो ९९२०१९७६८०
≈संपादक – श्री हेमन्त बावनकर/सम्पादक मंडळ (मराठी) – सौ. उज्ज्वला केळकर/श्री सुहास रघुनाथ पंडित /सौ. मंजुषा मुळे/सौ. गौरी गाडेकर≈
